Pallogeometrian perushahmotusta, osa 4

Sarjan edellisessä osassa tarkasteltiin pallokuvioiden kulmia. Tässä osassa otamme käyttöön kulman uuden mitan ja tutkimme pallomonikulmion pinta-alan ja kulmien summan yhteyttä.

Olkoon pallon säde $r=1$. Silloin isoympyrän pituus on $2\pi$ (pituusyksikköä), sen puolikkaan pituus $\pi$ ja neljänneksen pituus $\frac{\pi}{2}$. Koska kaaren pituus ja sitä vastaava keskuskulman suuruus ovat suoraan verrannollisia, niin kaaren pituutta voidaan käyttää myös kulman mittana. Täyskulman suuruus on silloin $2\pi$, oikokulman $\pi$ ja suoran kulman $\frac{\pi}{2}\approx1{,}571$. Kulma, jonka suuruus on 1, on siten vähän vähemmän kuin kaksi kolmasosaa suorasta kulmasta, asteissa mitattuna noin $57{,}3°$. Erotukseksi janan pituudesta sanotaan usein, että tällaisen kulman suuruus on yksi radiaani (rad).

Tällainen tapa ilmoittaa kulman suuruus sopii hyvin myös pallon pinnalla olevien kulmien mittaamiseen. Tämä kuva oli jo edellisessä osassa, mutta silloin kulmat oli mitattu asteissa. Punaiset lukuarvot ovat kaarien pituuksia ja mustat kulmien suuruuksia. Kulman suuruus noin $1,571$ on luvun $\frac{\pi}{2}$ likiarvo ja tarkoittaa siis suoraa kulmaa. Kaaren $AB$ pituutta voit säätää päätepisteistä. Kulman ja sen sisään jäävän kaaren suuruutta on nyt helpompi verrata kuin jos kulma olisi mitattu asteissa.

Olet jo ehkä huomannut, että kun pallogeometrian kuviota suurennetaan, niin sen kulmat kasvavat, vaikka muoto pysyisi samana, esimerkiksi tasasivuinen pallokolmio ja palloneliö sarjan edellisessä osassa. Kaksikulmiossa yhteys kulman suuruuden ja pinta-alan välillä on kaikkein ilmeisin. Kaksikulmio käy yhä kapeammaksi ja sen pinta-ala lähestyy nollaa, kun kärkikulma pienenee, ja laajenee puolipalloksi suoraan verrannollisena kärkikulmaan, kun kärkikulma kasvaa kohti oikokulmaa. Puolipallon pinta-ala on $\frac{1}{2}\cdot4\pi r^2=2\pi$, kun säde on 1. Oikokulma on radiaaneissa mitattuna $\pi$ ja siten suurimman kaksikulmion kulmien summa on myös $2\pi$. Pallokaksikulmion pinta-alan mittaluku on siis sama kuin sen kulmien summa: $A_2=\alpha+\beta$.

Pallokolmiota voit tutkia aluksi edellä olevan napakolmion avulla. Kun päiväntasaajalla olevat pisteet lähestyvä toisiaan, niin pinta-ala pienenee nollaan. Navalla oleva kärkikulma pienenee myös nollaan, mutta kolmion kulmasumma ei. Mitä arvoa se lähestyy radiaaneissa ilmaisuna? Pane tämä muistiin, tarvitset sitä myöhemmin. – Kun päiväntasaajalla oleva kärkipiste on kiertänyt pallon ympäri ja alkaa lähestyä toista uudelleen, niin kolmio alkaa täyttää puolipallon koko pinnan, joten sen pinta-ala lähestyy arvoa $2\pi$. Kolmion kulmien summa lähestyy arvoa $3\pi$, joten kulmien summan arvo ei ole sama kuin pinta-ala.

Kuvan pallokolmion kaikki kärkipisteet ovat liikuteltavissa vapaasti. Raahaa kärkipisteitä yhä lähemmäs toisiaan. Miten kulmien summa muuttuu? Pinta-ala menee nollaan, mutta kolmion kulmien summa ei. Vertaa tulosta napakolmiosta saamaasi tulokseen.

Tämä on keskeinen ajatus, kun verrataan pallogeometriaa tasogeometriaan. Hyvin pienillä alueilla pallon pinta käyttäytyy samaan tapaan kuin taso. Pallokolmion kulmien summa lähestyy arvoa $180°$ eli $\pi$, kun kolmio tulee yhä pienemmäksi. Matemaattisesti sanottuna pallopinta lähestyy sivuavaa tasoa rajatta, mitä lähemmäs sivuamispistettä tullaan. Tämä on selitys sille, että monet ihmiset uskoivat vanhaan aikaan – ja jotkut poikkeuksellisen omalaatuiset ihmiset vieläkin – että maa on litteä. Todellisuudessa maapallon kaarevuus alkaa näkyä selvästi esimerkiksi meren rannalla, kun etäisyys on suurempi kuin kymmenen kilometriä.

Pallokolmiota tarkastellessasi et ole ehkä tullut ajatelleeksi, että kolmion sivut, pallojanat, jakavat pallon pinnan kahdeksi pallokolmioksi. Tämä käy ilmeiseksi, kun merkitset kolmion sisään pisteen ja alat siirtää kärkipisteitä siitä poispäin pallon takapuolelle. (Tämä olisi helpompaa tehdä konkreettisella styrox-pallolla ja kumilenkillä kuin Geogebra-matletilla, vaikka kumilenkki pitääkin siirtää nuppineulan toiselle puolelle puolessa välissä.) Siellä pisteet alkavat lähestyä toisiaan uudestaan. Alkuperäisen kolmion ulkopuoli alkaa näyttää tavanomaiselta kolmiolta sitä enemmän, mitä pienemmäksi se käy. Alkuperäinen kolmio täyttää lopulta koko pallon, joten sen pinta-ala lähestyy arvoa $4\pi$. Mitä arvoa lähestyy alkuperäisen kolmion sisäkulmien summa?

Kummassakin kolmiotarkastelussa kolmion kulmien summa lähestyy arvoa $\pi$, kun pinta-ala pienenee nollaan. Napakolmion pinta-alan suurin arvo on puolipallon pinta-ala eli $2\pi$, mutta kulmien summa lähestyy arvoa $3\pi$. Yleisen pallokolmion tapauksessa pinta-alan suurin arvo on $4\pi$, ja kolmion kulmien summa lähestyy arvoa $5\pi$ (kolmesta täydestä kulmasta vähennetään nollaan supistuvan kolmion kulmien summa $\pi$). Olisi siis houkuttelevaa arvata, että pallokolmion pinta-ala saadaan vähentämällä $\pi$ kolmion sisäkulmien summasta: $A_3=\alpha+\beta+\gamma-\pi$.

Vastaavat tutkimukset voit tehdä palloneliöllä. Mitä arvoa palloneliön kulmien summa lähestyy, kun neliö sivua pienennetään tuomalla kärkipisteitä yhtä lähemmäs toisiaan? Mitä arvoja alkuperäisen palloneliön pinta-ala ja sisäkulmien summa lähestyvät, kun kärkipisteet viedään pallon takana yhä lähemmäksi toisiaan? Neliön pienentyessä se alkaa muistuttaa yhä enemmän tasogeometrian neliötä, joten kulmien summa lähestyy arvoa $2\pi$. Kun kärkipisteet viedään pallon takapuolella yhä lähemmäs toisiaan, niin alkuperäisen neliön ulkopuolesta tulee sievä neliö. Neliö täyttää lopulta pallon koko pinta-alan $4\pi$. Kulmien summa lähestyy siis arvoa $6\pi$ (neljä täyttä kulmaa – neljä suoraa kulmaa). Palloneliön kulmien summan mittaluku on siis $2\pi$:n verran suurempi kuin pinta-ala: $A_4=\alpha+\beta+\gamma+\delta-2\pi$.

Esimerkkien määrä on vähäinen, mutta tulos niin johdonmukainen, että tuntuu uskottavalta, että pallomonikulmion pinta-alan ja kulmien summan välillä on yleispätevä riippuvuus. Ei tarvitse paljonkaan googlettaa, kun yleinen tulos löytyy:

$\text{pallo-n-monikulmion pinta-ala}=\text{sisäkulmien
summa}-\left(n-2\right)\cdot\pi$

Siis täysin sopusoinnussa edellä olevien esimerkkien kanssa.

Tarkat matemaattiset perustelut löydät esimerkiksi Essi Kuukkulan pro gradu -työstä Epäeuklidisista geometrioista http://urn.fi/urn:nbn:fi:uta-1-20826. Siinä pallogeometriaa lähestytään (yliopisto)matematiikan tapaan muodollisesti niin kuin opinnäytteessä tietysti pitääkin.

Sarja jatkuu…

Aloituskuva: Nagy Arnold / Unsplash

Edelliset osat:

Pallogeometria – Osa 3

Pallogeometria – Osa 2

Pallogeometria – Osa 1