Opetus

Pallogeometrian perushahmotusta, osa 3

Kirjoitussarjan edellisissä osissa havaittiin, että pallogeometriassa ei ole yhdensuuntaisia ja että pallokolmion kulmien summa voi olla muutakin kuin 180°. Tutkimme pallomonikulmioiden kulmia tarkemmin. Kuviot on helppo virittää styrox-pallon pinnalle kumilenkeillä ja nuppineuloilla, mutta tarkka mittaaminen sujuu paremmin Geogebra-matleteilla.

Isoympyrät vastaavat pallogeometriassa tasogeometrian suoria. Kaksi isoympyrää leikkaavat aina toisensa kahdessa pallon vastakkaisilla puolilla olevassa pisteessä. Ne jakavat pallon pinnan neljäksi pallokaksikulmioksi. Kuvioiden kärjet ovat pallon vastakkaisilla puolilla ja kärkikulmat ovat yhtä suuret. Kuinka suuri pallokaksikulmion pinta-ala voi olla enintään? Kuinka suuri sen kärkikulma silloin on?

Pallokolmion kulmien suuruus riippuu kolmion koosta: mitä suurempi pinta-ala, sitä suuremmat kulmat. Jos yksi kärkipisteistä on kahden muun kärjen määräämän isoympyrän navalla, niin kolmiota sanotaan napakolmioksi. Siirrä toista päiväntasaajalla olevaa kärkeä niin, että kulmat ovat kaikki 90°. Kuinka suuri osa pallon pinta-alasta pallokolmion pinta-ala silloin on? Miten kulmille käy, kun kuljetat päiväntasaajalla olevaa kärkeä yhä kauemmaksi toisesta kärjestä päiväntasaajaa pitkin? Kuinka suureksi suurin kulma voi kasvaa? Kuinka suuri osa pallon pinnasta kolmio on suurimmillaan? Kuinka suuri on kolmion kulmien summa silloin?

Pallokolmio voi olla säännöllinen vastaavalla tavalla kuin tasogeometrian tasasivuinen kolmio. Tasasivuinen pallokolmio on myös tasakulmainen, mutta kulman suuruus riippuu kolmion koosta! Piirtämistavasta johtuu, että kuvan kolmion kärkipisteitä ei voi siirtää, vaan kolmion kokoa ja paikkaa muutetaan ohjauspisteistä C1 ja C2. Kolmio pysyy koko ajan tasasivuisena ja siten tasakulmaisena. Siirrä ohjauspisteitä niin, että kaikki kulmat ovat 60°. Kuinka suuri osa kolmion sivu on nyt isoympyrän pituudesta?

Palloneliö on säännöllinen monikulmio, koska se on sekä tasasivuinen että tasakulmainen. Se on helpointa piirtää jakamalla palloympyrän kehä neljään yhtä suureen osaan. Kuviota voit siirtää keskipisteestä A ja muuttaa sen kokoa kärjestä B. Huomaa, että kulmien suuruus muuttuu koon mukana. Miten kulmien summalle käy, kun sivu pienenee kohti nollaa?

Monet näistä kuvista voidaan piirtää käyttämällä Katariina Ristilän Geogebraan tekemiä pallogeometrian työkaluja. Harmi, että löysin ne vasta, kun olin tehnyt edellä olevat kuvat käsityönä alusta pitäen. Hänen pro gradu -tutkielmansa on saatavissa osoitteesta.
Suora linkki hänen työkaluihinsa on tässä.
Sarja jatkuu…

 

Hannu Korhonen
Orimattila

Print Friendly, PDF & Email
Takaisin etusivulle