Opetus

Värit, Sierpinski ja Pascal

Matematiikka on siitä ihmeellistä, että se paljastaa yhteisiä rakennepiirteitä näennäisesti erilaisistakin kohteista. Tässä jutussa esillä ovat värien yhteenlasku, kolmiofraktaali ja binomin potenssit.

Solmu-artikkelissaan [1] Saara Lehto esittelee neliöistä muodostuvan tasakylkistä kolmiota muistuttavan kuvion (kuva 1). Kunkin pikkuneliön väri määräytyy niin, että kyljillä olevat neliöt ovat sinisiä ja muiden väri määräytyy kahden edellisellä rivillä nurkittain olevan neliön perusteella. Jos ne ovat samanväriset, niin alemman neliön väriksi tulee punainen. Jos taas eriväriset, niin sininen. Tämä voidaan esittää myös värien yhteenlaskutauluna (kuva 1, oikea ylänurkka). Kahden värillisen neliön välissä on aina erottimena valkoinen neliö. Kuviosta alkaa hahmottua vähitellen sisäinen rakenne.

Kuva 1: Kolmiokuviosta on näkyvissä 16 ylintä riviä. Kunkin pikkukolmion väri määräytyy edellisellä rivillä nurkittain olevan kahden kolmion väristä. Värin määräytymissääntö näkyy värien yhteenlaskutaulusta.

 

Sierpinskin kolmio

Samantapainen kuvio voidaan tuottaa myös geometrisin keinoin [2]. Poistetaan kolmiosta pienempi kolmio, jonka kärkipisteinä ovat kolmion sivujen keskipisteet (kuva 2).  Jäljelle jäävien pikkukolmioiden kanssa toimitaan samoin yhä uudestaan. Jo kahden poistokierroksen jälkeen saadaan edellä olevaa, pikkuneliöistä muodostuvaa kuviota muistuttava hahmo (kuva 2, toinen osakuva oikealta).

Kun tätä jatketaan rajatta, jäljellä ei ole pienenpientäkään kolmiota. Kuvion pinta-ala on nolla, mutta kuitenkaan kuvio ei ole kokonaan kadonnut. Siitä on jäljellä tavallaan äärettömän pitkä viiva äärellisessä alueessa. Se ei siis ole enää kaksiulotteinen kuvio, mutta ei toisaalta yksiulotteinen viivakaan, vaan jotain niiden väliltä.  Kuvio on fraktaali: Sierpinskin kolmio. Sen fraktaalidimensio on noin 1,6. Fraktaaleilla on se ominaisuus, että ne ovat yhdenmuotoisia pienten osiensa kanssa. Puhutaan itsesimilaarisuudesta.

Kuva 2: Kolmion keskeltä poistetaan pienempi kolmio, jonka kärkipisteet ovat edellisen kolmion sivujen keskipisteet. Jatketaan tätä yhä uudestaan kaikille osakolmioille. Oikeanpuolisessa kuvassa tämä on tehty seitsemään kertaan.

Samaan fraktaaliin voidaan päätyä toistakin tietä [3]. Korvataan jana kolmesta osajanasta muodostuvalla murtoviivalla (kuva 3). Sen osajanat ovat pituudeltaan puolet edellistä janasta. Viivan kokonaispituus kasvaa siten 1,5-kertaiseksi. Korvataan edelleen jokainen osajana vastaavalla yhdenmuotoisella murtoviivalla. Murtoviivan pituus kasvaa rajatta korvaamisen edetessä. Lopuksi päädytään Sierpinskin kolmioon. Tämä auttaa ehkä vahvistamaan sitä käsitystä, että lopputulos ei ole yksiulotteinen viiva, mutta ei myöskään kaksiulotteinen pinta.

Kuva 3: Jana (vasen ylänurkka) korvataan kolmesta puolikkaansa pituisesta osajanasta koostuvalla murtoviivalla, missä osajanojen väliset kulmat ovat 120°. Toistetaan tätä kullekin osajanalle yhä uudestaan. Kuvassa ovat murtoviivat 1, 2, 3, 4 ja 10 korvauksen jälkeen.

 

Pascalin kolmio

Auki kirjoitetun binomin potenssin termien kertoimet eli binomikertoimet voidaan järjestää kolmionmuotoiseksi taulukoksi eli Pascalin kolmioksi [4]. Jos väritetään parittomien lukujen taustat sinisiksi ja parillisten punaisiksi, niin saadaan aivan samantapainen kuvio kuin alussa värien yhteenlaskun perusteella saatiin (kuva 4). Syykin on ilmeinen. Luvut saadaan nimittäin lasketuiksi myös ilman mitään tietoa polynomeista. Reunoilla on ykkösiä ja muut luvut saadaan laskemalla yhteen kaksi vierekkäistä edellisen rivin lukua. Siis vastaava periaate, jolla värineliöistä muodostuva kolmio rakentui.

Väritetystä Pascalin kolmiosta havaitaan muutakin. Esimerkiksi se, että on joitakin binomin potensseja, joiden kaikki kertoimet ovat parittomia. Ne vastaavat binomin potensseja 0, 1, 3, 7 ja 15. Näistä sääntö on jo nähtävissä. Kaikki kertoimet ovat parittomia [5], kun binomi korotetaan potenssiin, joka on muotoa $2^k-1$, missä $k$ = 0, 1, 2, 3, …

Kuva 4: Binomikertoimia Pascalin kolmion mukaisessa asetelmassa. Parillisten kertoimien taustat ovat punaisia ja parittomien taustat sinisiä.

 

Hannu Korhonen
Orimattila

 

Lähteitä ja lisätietoa:

 

[1]     Lehto, S. Toiminnallista matematiikkaa: Fraktaaliaskartelua osoitteessa https://matematiikkalehtisolmu.fi/2005/3/saara.pdf

[2]     Esimerkiksi Ortiz, M. Sierpinski Triangle osoitteessa https://www.geogebra.org/m/gFda256X

[3]     Constructing the Sierpinski triangle osoitteessa https://www.oftenpaper.net/sierpinski.htm

[4]     Pascal’s Triangle divisible by 2 osoitteessa https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pascal%27s_Triangle_divisible_by_2.svg

[5]     Odd Binomial Coefficients? osoitteessa https://math.stackexchange.com/questions/148017/odd-binomial-coefficients

 

Kuvan 3 murtoviivat on piirretty MSWLogolla, Ohjelmakutsu on esimerkiksi kuva 300 4.

to kuva :jana :toistot
cs  rt 90 vs :jana :toistot
end

to vs :jana :toistot
if :toistot = 0 [fd :jana stop]
lt 60 os :jana / 2 :toistot – 1
rt 60 vs :jana / 2 :toistot – 1
rt 60 os :jana / 2 :toistot – 1
lt 60
end

to os :jana :toistot
if :toistot = 0 [fd :jana stop]
rt 60 vs :jana / 2 :toistot – 1
lt 60 os :jana / 2 :toistot – 1
lt 60 vs :jana / 2 :toistot – 1
rt 60
end

Print Friendly, PDF & Email
Takaisin etusivulle