• Opetus

    Askartelua ja aivojumppaa: origami 1

    Origami on vanha japanilainen taidemuoto. Työskentely perustuu paperintaitteluun. Matematiikan kannalta se on avaruusgeometriaa ja topologiaa. Kouluopetukseen sillä voisi olla monenlaista annettavaa myös siksi, että se ei noudata tiukkoja ainerajoja, vaan yhteys esimerkiksi kuvataiteeseen, maantietoon ja historiaan on ilmeinen.  Vanhin säilynyt origamiohjeita sisältävä kirja on 1700-luvulta: Senbazuru orikata (Tuhat kurkea ja…

  •    
  • Opetus

    Perushahmotusta neljännen ulottuvuuden mieltämiseen, osa 1 – Mitä ne ulottuvuudet ovat?

    Matematiikan alkuperä on konkretiassa: lukumäärissä ja muussa ympäristön hahmottamisessa. Matematiikan voima ja kehityksen rajattomuuden takuu on abstrahoinnissa, käsítteiden yleistämisessä ja uuden luomisessa. Tuttuja arkipäivän asioita voidaan matematisoida ja toisaalta voidaan määritellä käsitteitä, joita emme pysty mieltämään arkikokemuksemme perusteella. Abstrakteja käsitteitä voi kuitenkin pyrkiä hahmottamaan hankkimalla kokemuksia, jotka auttavat liittämään uudet…

  •    
  • Opetus

    Kokemuksia ensimmäisten päivien etäopiskelusta peruskoulun yläluokilla

    Kun pääministeri Sanna Marinin tiedotti maanantaina, että peruskoulut suljetaan ja siirrytään keskiviikosta alkaen etäopetukseen, alkoi päässäni melkoinen myllerrys. Miten ihmeessä matematiikan, fysiikan ja kemian opetusta annetaan peruskoulussa etänä? Tiistaina, koulupäivän jälkeen tapasin vielä yhden oppilaani ja hänen huoltajansa. Hyvästellessämme oli huikeaa kuulla, kun kahdeksasluokkalainen toteaa, että hän tulee pääsiäisen jälkeen…

  •    
  • Opetus

    Matematiikan opetuksen historiaa: Zoltan Dienes

    Zoltan Dienes (1916 – 2014) syntyi Unkarissa, mutta toimi elämänsä aikana tutkijana ja opettajana useissa Euroopan maissa, Yhdysvalloissa, Australiassa, Kanadassa, Brasiliassa ja Uudessa Guineassa. Hän suoritti sekä matematiikan että psykologian tohtorin tutkinnon. Dienesiä ihmetytti se, miksi jotkut ihmiset eivät oppineet matematiikkaa edes niin paljon kuin arkielämässä tarvittaisiin. Hän päätteli, että…

  •    
  • Opetus

    Askartelua ja aivojumppaa: pop up 2

    Pop up -kortti tehdään leikkaamalla ja taittamalla kaksinkerroin taitettua paperi- tai kartonkiarkkia ja mahdollisesti liimaamalla lisäosia. Sakset riittävät tavallisesti, mutta tarkkaan työskentelyyn tarvitset terävän askarteluveitsen tai pienen mattoveitsen ja tukevan leikkuualustan. Tarkkaan taittamiseen tarvitset myös viivaimen, jota pitkin taittaa.   Tehtävä 1: yksinkertainen pop up -kuutio Tee kohtisuoraan taitetta vastaan…

  •    
  • Opetus

    Graafiteorian oppimateriaalia

    Viime vuonna sain valmiiksi pro gradu -tutkielmani ”Graafiteorian oppimateriaalia”. Tutkielma tarjoaa oppimateriaalia graafiteoriasta kiinnostuneille ja se on sovellettavissa esimerkiksi osaksi diskreetin matematiikan kurssia. Graafiteoria tarjoaa vaihtoehtoisen, visuaalisen tavan monien konkreettisten ongelmien ratkaisuun. Tässä artikkelissa esittelen muutaman klassisen graafiteorian sovellutuksen. Mitä graafiteoria on? Graafiteoria on matematiikan ala, joka tutkii objektien välisiä…

  •    
  • Opetus

    Taipuu, vaan ei taitu vai taittuuko? – oppimisfilosofinen näkökulma oppivelvollisuuskoulun matematiikan tulevaisuuteen

    Kulttuuriperintömme tuo näkyväksi kansallisten taipumusten historiaa suhteessa matematiikkaan. Koulumatematiikan tulevaisuudessa mahdollinen oppimisfilosofinen paradigmamuutos matematiikan löytämisestä matematiikan keksimiseen liittää oppimisen oppiainerajat ylittävään oppimiseen. Keksiminen on yhteydessä yksilöllisiin taipumuksiin, joiden tunnistaminen ja tukeminen rikastuttaa kulttuurista monimuotoisuutta ja uudistumista. Elämismaailman muutoksissa ihminen ja käsitys oppimisesta muuttuvat, mutta pitäisikö koulumatematiikankin muuttua? Peruskouluun johtanut taitekohta…

  •    
  • Opetus

    Navigaatiofysiikkaa IV – Sivuutusetäisyys

    Tämän kirjoitussarjan aiemmissa osissa [1, 2, 3] tarkasteltiin etäisyyden laskemista majakkaan, silloin, kun majakan valo tulee juuri näkyviin horisontin takaa. Tässä kirjoitussarjan viimeisessä osassa tarkastellaan toista veneilyesimerkkiä, kahden veneen sivutusetäisyyden laskemista lähtien kahdesta perättäisestä tutkamittauksesta.  Valitaan xy-tason origo oman veneen paikkaan ensimmäisen tutkahavainnon hetkellä ja y-akseli veneen kulku­suuntaan.   Jos…

  •    
  • Opetus

    Askartelua ja aivojumppaa: pop up 1

    Ponnahduskortti (pop up -kortti) on taittokortti, josta ponnahtaa esiin kolmiulotteinen rakennelma, kun kortti avataan. Samalla periaatteella on tehty myös kirjoja, joiden jokainen aukeama toimii ponnahduskortin tapaan. Niiden hahmottaminen ja varsinkin suunnittelu sisältävät paljon matematiikkaa, joka ei aina edes näytä matematiikalta, vaan hauskalta askartelulta. Pop up -korttien rakenteen matematiikasta on saatu…

  •    
  • Opetus

    Navigaatiofysiikkaa III – Etäisyyden määrityksestä

    Navigaatiokirjallisuudessa, esim. [1], löytyvä laskukaava etäisyyden laskemiseksi majakkaan, silloin, kun majakan valo tulee juuri näkyviin horisontin takaa, on $s=2{,}08\ \left(\sqrt{\frac{H}{\mathrm{m}}}\ +\ \sqrt{\frac{h}{\mathrm{m}}}\right)\ \mathrm{M}$ (1) jossa $H$ ja $h$ ovat majakan (valon) ja silmän korkeudet merenpinnasta. M = meripeninkulma (Nautical mile) = 1852 m. Tämän kirjoitussarjan ensimmäisessä osassa [2] saimme geometrisellä…