• Tiede ja teknologia

    LUMA-päivät Jyväskylässä 2019 – Vapauta luovuutesi

    STEAM tulee sanoista Science, Technology, Engineering, Art ja Mathematics. STEAM opetus yhdistää eri oppiaineita ja tiedettä. Tässä mallissa opettaja luo käytännön ongelmia, joita pyritään ratkaisemaan yhdessä teknologiaa hyödyntäen. STEAM aineissa korostuu luovuus ja yhteisöllisyys.     LUMA-päivät Jyväskylässä käynnistyi professori Zsolt Laviczan luennolla ”Mitä luovuus merkitsee matematiikan opetuksessa”. Käytännössä luovuus luodaan…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 5

    Pallopinta on kaksiulotteinen. Pisteen paikan ilmoittamiseen tarvitaan niin ollen vain kaksi koordinaattia. Koordinaattien määrittelyn apuna voidaan käyttää tavallista suorakulmaista $xyz$-koordinaatistoa. Kiinnitetään sen origo pallon keskipisteeseen. $Xy$-tasossa oleva isoympyrä vastaa tällöin maapallon päiväntasaajaa ja $xz$-tasossa oleva isoympyrä nollameridiaania (Greenwichin pituuspiiriä). Tason suorakulmaisia koordinaatteja vastaisivat näennäisesti parhaiten päiväntasaajatason suuntaisessa tasossa olevan pikkuympyrän…

  •    
  • Opetus

    Juomapullon tilavuus

    Niin opiskelija kuin opettajakin saattaa pohtia, että miten lukion matematiikkaa voisi soveltaa käytännölliseen tilanteeseen. Integraalilaskenta tarjoaa tähän oivan mahdollisuuden. Ohjeet on laadittu GeoGebralle. Sisältö ja tavoitteet Olen jo useiden vuosien ajan sisällyttänyt kurssin MAA9 vaatimuksiin harjoitustyön, jossa opiskelijat yksin tai pienessä ryhmässä määrittävät sopivaksi katsomansa tasoalueen pinta-alan tai pyörähdyskappaleen tilavuuden.…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 4

    Sarjan edellisessä osassa tarkasteltiin pallokuvioiden kulmia. Tässä osassa otamme käyttöön kulman uuden mitan ja tutkimme pallomonikulmion pinta-alan ja kulmien summan yhteyttä. Olkoon pallon säde $r=1$. Silloin isoympyrän pituus on $2\pi$ (pituusyksikköä), sen puolikkaan pituus $\pi$ ja neljänneksen pituus $\frac{\pi}{2}$. Koska kaaren pituus ja sitä vastaava keskuskulman suuruus ovat suoraan verrannollisia,…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 3

    Kirjoitussarjan edellisissä osissa havaittiin, että pallogeometriassa ei ole yhdensuuntaisia ja että pallokolmion kulmien summa voi olla muutakin kuin 180°. Tutkimme pallomonikulmioiden kulmia tarkemmin. Kuviot on helppo virittää styrox-pallon pinnalle kumilenkeillä ja nuppineuloilla, mutta tarkka mittaaminen sujuu paremmin Geogebra-matleteilla. Isoympyrät vastaavat pallogeometriassa tasogeometrian suoria. Kaksi isoympyrää leikkaavat aina toisensa kahdessa pallon…

  •    
  • Opetus

    Omaehtoista Geogebra-koulutusta

    Opetus uusiutuu nopeasti. Opettajien tiedontarve on suuri. Pääkaupunkiseudun opettajat halusivat saada lisää Geogebra-koulutusta siitä huolimatta, että koulutusta on tarjolla muutenkin. Huutoon vastasi Suomen Geogebra-instituutti järjestämällä Geogebra-illan yhteistyössä Helsingin yliopiston kanssa. Koulutuksen järjestämiseen on periaatteessa tarjolla paljon taloudellista tukea, mutta ad hoc -täsmäkoulutukseen sitä ei vain löytynyt. Helsingin yliopiston matematiikan, fysiikan…

  •    
  • Opetus

    Mikko Rahikan GeoGebra-sarja – Osa 3: Jono -komento GeoGebrassa

    GeoGebran Jono-komento (Sequence) vastaa perinteisissä ohjelmointikielissä for-next -silmukkaa. Sen avulla saadaan luotua tarvittaessa pitkiäkin listoja, joiden jäseninä voi olla muita GeoGebran objekteja; lukuja, pisteitä, yhtälöitä, taso- ja 3D geometrian objekteja jne. Jonoa voi käyttää monella eri syntaksilla, sillä voi olla 1 – 5 syötettä. Tutustutaan näihin esimerkkien avulla. Kirjoitan seuraavassa…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 2

    Tasogeometrian yksinkertaisin monikulmio on kolmio. Pallogeometriassa on vieläkin yksinkertaisempi pallomonikulmio. Pallokolmion kulmien summa tuottaa yllätyksen. Kun isoympyrät leikkaavat toisensa, niin ne muodostavat kulman, jonka kärkenä on leikkauspiste. Isoympyrät, tarkemmin sanottuna leikkauspisteiseen piirretyt isoympyröiden tangentit, ovat pallokulman kylkinä. Pallokulma on samalla isoympyröiden määrittelemien tasojen välinen kulma.  – Kaksi isoympyrää muodostavat itse…

  •    
  • Opetus

    Mikko Rahikan GeoGebra-sarja – Osa 2: Sovituskomennot GeoGebrassa

    Funktion sovittaminen pisteistöön on tyypillinen ongelma, jonka ratkaisemiseminen onnistuu mukavahkosti tietokoneohjelmien avulla. GeoGebrassa on oma työkalu sovitusongelmien ratkaisuun. Lisäksi ohjelmassa on runsaasti sovituskomentoja. Tutkitaan ensin Kahden muuttujan regressio -työkalua. Seuraavissa esimerkeissä käytetään kuvan taulukkolaskennan lukuja. Kirjoitan GeoGebran komennot ja käyttöliittymään liittyvät sanat lihavoituina ja komentojen englanninkieliset käännökset kursiivilla. Kuva 1. Valitaan…

  •    
  • Opetus

    Monikulmioita GeoGebralla

    Olin viime syksynä unelmatilanteessa, sillä sain tehdä diplomityöhöni juuri itseäni kiinnostavasta aiheesta eli GeoGebran käytöstä yläkoulun geometriassa ja erityisesti monikulmioiden opiskelussa. Osana diplomityötäni kehitin valmiin tehtäväkokonaisuuden eli oppimisaihion GeoGebralla. Nyt tuo kokonaisuus on julkisesti kaikkien saatavilla GeoGebrassa osoitteessa https://ggbm.at/dgkmtmzb.   Taustaa GeoGebra valikoitui tehtävien alustaksi siksi, että se on suunniteltu…