• Opetus

    Monikulmion neliöinti

    Ympyrän neliöinti on yksi kolmesta suuresta klassisen ajan geometrisesta ongelmasta, joita ei voi ratkaista harpilla ja mitta-asteikottomalla viivaimella. Samanlaista mainetta eivät ole saavuttaneet ratkaistavissa olevat neliöintitehtävät, joissa saattaa kuitenkin olla pohtimista ihan kylliksi. Neliöinti tarkoittaa sitä, että on piirrettävä neliö, jolla on sama pinta-ala kuin annetulla kuviolla. Yksinkertaisin tapaus on…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 7

    Palloharmoniset funktiot ovat perhe reaali- tai kompleksiarvoisia funktioita. Vielä kaksikymmentäviisi vuotta sitten Kluwerin Encyclopaedia of Mathematics mainitsi niiden ainoana sovellusalueena neutronifysiikan, vaikka kyllä muitakin käyttöalueita oli fysiikassa. Melko kaukana koulumatematiikasta siis. Tällä vuosituhannella tilanne on kuitenkin muuttunut olennaisesti. Palloharmoniset funktiot ovat arkipäivää tekniikassa, tieteessä ja viihteessä. Siksi jonkinlaisten perustietojen voisi…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 6

    Pallomonikulmion pinta-ala on määritelty monikulmion kulmien summan avulla sarjan aikaisemmissa osissa. Pinta-alan laskemiseen on muitakin keinoja. Pallokuviot ovat pallopinnan alueita. Pallon keskipisteestä alueen reunaviivalle piirretyt suorat määrittävät kartion (kuva 1). Sen sisään jäävä alue on avaruuskulma. SI-opas määrittelee avaruuskulman suureena $$\Omega=\frac{A}{r^2},$$ siis pallopinnasta kartion sisään jäävän alueen pinta-ala jaettuna säteen…

  •    
  • Puheenvuoro

    Zsolt Laviczan haastattelu

    Professori Zsolt Lavicza on kuuluisa taustavaikuttaja GeoGebra-piireissä. Hän on vieraillut usein Suomessa. Tapasin hänet ensimmäisen kerran 2013 Pohjoismaisen ja Baltian verkoston konferenssissa Ylöjärvellä, jossa hän oli yksi pääesiintyjistä. Haastattelin Zsolt Laviczaa 6.6.19 hotelli Verson aulassa Jyväskylän LUMA-päivien yhteydessä. Kuka olet? Miten tulit mukaan GeoGebra-yhteisöön? Olen Zsolt Lavicza. Olen professori Johanne…

  •    
  • Tiede ja teknologia

    LUMA-päivät Jyväskylässä 2019 – Vapauta luovuutesi

    STEAM tulee sanoista Science, Technology, Engineering, Art ja Mathematics. STEAM opetus yhdistää eri oppiaineita ja tiedettä. Tässä mallissa opettaja luo käytännön ongelmia, joita pyritään ratkaisemaan yhdessä teknologiaa hyödyntäen. STEAM aineissa korostuu luovuus ja yhteisöllisyys.     LUMA-päivät Jyväskylässä käynnistyi professori Zsolt Laviczan luennolla ”Mitä luovuus merkitsee matematiikan opetuksessa”. Käytännössä luovuus luodaan…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 5

    Pallopinta on kaksiulotteinen. Pisteen paikan ilmoittamiseen tarvitaan niin ollen vain kaksi koordinaattia. Koordinaattien määrittelyn apuna voidaan käyttää tavallista suorakulmaista $xyz$-koordinaatistoa. Kiinnitetään sen origo pallon keskipisteeseen. $Xy$-tasossa oleva isoympyrä vastaa tällöin maapallon päiväntasaajaa ja $xz$-tasossa oleva isoympyrä nollameridiaania (Greenwichin pituuspiiriä). Tason suorakulmaisia koordinaatteja vastaisivat näennäisesti parhaiten päiväntasaajatason suuntaisessa tasossa olevan pikkuympyrän…

  •    
  • Opetus

    Juomapullon tilavuus

    Niin opiskelija kuin opettajakin saattaa pohtia, että miten lukion matematiikkaa voisi soveltaa käytännölliseen tilanteeseen. Integraalilaskenta tarjoaa tähän oivan mahdollisuuden. Ohjeet on laadittu GeoGebralle. Sisältö ja tavoitteet Olen jo useiden vuosien ajan sisällyttänyt kurssin MAA9 vaatimuksiin harjoitustyön, jossa opiskelijat yksin tai pienessä ryhmässä määrittävät sopivaksi katsomansa tasoalueen pinta-alan tai pyörähdyskappaleen tilavuuden.…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 4

    Sarjan edellisessä osassa tarkasteltiin pallokuvioiden kulmia. Tässä osassa otamme käyttöön kulman uuden mitan ja tutkimme pallomonikulmion pinta-alan ja kulmien summan yhteyttä. Olkoon pallon säde $r=1$. Silloin isoympyrän pituus on $2\pi$ (pituusyksikköä), sen puolikkaan pituus $\pi$ ja neljänneksen pituus $\frac{\pi}{2}$. Koska kaaren pituus ja sitä vastaava keskuskulman suuruus ovat suoraan verrannollisia,…

  •    
  • Opetus

    Pallogeometrian perushahmotusta, osa 3

    Kirjoitussarjan edellisissä osissa havaittiin, että pallogeometriassa ei ole yhdensuuntaisia ja että pallokolmion kulmien summa voi olla muutakin kuin 180°. Tutkimme pallomonikulmioiden kulmia tarkemmin. Kuviot on helppo virittää styrox-pallon pinnalle kumilenkeillä ja nuppineuloilla, mutta tarkka mittaaminen sujuu paremmin Geogebra-matleteilla. Isoympyrät vastaavat pallogeometriassa tasogeometrian suoria. Kaksi isoympyrää leikkaavat aina toisensa kahdessa pallon…

  •    
  • Opetus

    Omaehtoista Geogebra-koulutusta

    Opetus uusiutuu nopeasti. Opettajien tiedontarve on suuri. Pääkaupunkiseudun opettajat halusivat saada lisää Geogebra-koulutusta siitä huolimatta, että koulutusta on tarjolla muutenkin. Huutoon vastasi Suomen Geogebra-instituutti järjestämällä Geogebra-illan yhteistyössä Helsingin yliopiston kanssa. Koulutuksen järjestämiseen on periaatteessa tarjolla paljon taloudellista tukea, mutta ad hoc -täsmäkoulutukseen sitä ei vain löytynyt. Helsingin yliopiston matematiikan, fysiikan…