Opetus

Piin päivä 14.3.

Suomessa on vajaat satakunta ihmistä, joiden etunimi on Pii, sekä miehiä että naisia. Heillä ei ole omaa nimipäivää kalenterissa. Mutta eipä hätää. Matematiikka pelastaa, sillä luvulla pii on oma päivä.

Nimipäivät.fi-sivustolla https://www.nimipaivat.fi/pii.html ehdotetaan Piin epäviralliseksi nimipäiväksi maaliskuun 14. päivää, se kun on matemaattisen piin päivä. Luvun pii juhliminen on peräisin Yhdysvalloista. Idean keksijänä pidetään San Fransiscon tiedekeskuksen ideanikkaria Lawrence Shawta. Tänä vuonna vietetään jo 32. piin päivää.

Englanninkielisen lähtökohdan perusteella on selvää, miksi piin päivä on juuri maaliskuun 14. päivä: March, 14th eli 3/14. Pii-hetki voisi olla tarkempikin: 14.3. kello 15 tai vielä tarkemmin 1.59 (PM eli ip.), sillä seuraavat desimaalit ovat 3,14159. Vaihtoehtoinen piin päivä voisi olla heinäkuun 22. päivä, koska $\frac{22}{7}\approx3{,}14$. Sitä nimitetäänkin joskus piin likiarvon päiväksi. Tämä rationaalilikiarvo oli tuttu jo Arkhimedeelle yli 2000 vuotta sitten. Hän tiesi, että pii on todellisuudessa sitä pienempi.

Eikä nimipäivää ilman juhlia. Varsinkin englanninkielisessä maailmassa pii-aiheiset piirakat (pie) ovat pakollista juhlaruokaa, sillä ”pi” (= pii) ääntyy samoin kuin ”pie” (= piirakka). Piin päivän juhlissa lauletaan myös pii-lauluja. Englanninkielisinä niitä on paljonkin. Googleta haulla ”pi song”. Saat satatuhatta tulosta. Piiritanssit sopisivat myös hyvin piin päivään piin geometrisen merkityksen vuoksi.

Sellaisessa matematiikan kulttuurimaassa kuin Ranskassa ei rajoituta vain yhteen päivään, vaan piin päivän ympärillä on matematiikan viikko. Tapahtumajärjestelyt eivät ole vain opettajien ja koulujen aktiivisuudesta riippuvia, vaan osa opetusministeriön kansallista ohjelmaa http://www.education.gouv.fr/cid59384/la-semaine-des-mathematiques.html. Viikon teemana on tänä vuonna ”pelataan matematiikkaa yhdessä”. Pii-peliksi sopii esimerkiksi piin peräkkäisten desimaalien etsiminen verkkorakenteesta poistamalla solmuja ja kaaria https://pi2e.ch/blog/2018/11/08/the-pi-game/.

Perusopetuksessa pii on ainutlaatuinen luku. Mitään muuta transkendenttista irrationaalilukua oppilaat eivät kohtaa. Pienenä johdatuksena voisi olla huumorisivulta poimittu lause: ”kirjastokorttini PIN-luku muodostuu piin neljästä viimeisestä desimaalista”.  Vitsi on niin matemaattinen, että sille nauraminen edellyttää käsitystä irrationaaliluvun luonteesta. Muita pii-vitsejä on Pi Day -järjestön sivulla https://www.piday.org/jokes/.

Piin irrationaalisuus tarkoittaa nimittäin sitä, että sen desimaaliesitys on päättymätön ja jaksoton. Desimaalien laskeminen on työlästä. Ensimmäisten vuosituhansien aikana vuoteen 1950 mennessä päästiin vain runsaaseen sataan desimaaliin. Tietokoneet alkoivat lisätä laskentakapasiteettia niin nopeasti, että miljoonaan desimaaliin päästiin 1970-luvulla ja nykyään on laskettu jo noin 2,7 biljoonaa desimaalia.

Numerot esiintyvät satunnaisesti, joten on odotettavissa, että mikä tahansa numerojono esiintyy siinä. Suosittu metkan matematiikan ongelma onkin etsiä syntymäpäiväänsä piistä. Tarjolla on lukuisia verkkotyökaluja. Monissa on yllättäviä rajoituksia. Laskenta saattaa rajoittua miljoonaan ensimmäiseen desimaaliin tai ohjelma pudottaa päivämäärästä pois vuosisadat ja -tuhannet. The Pi-Search Page http://www.angio.net/pi/piquery.html etsii 200 miljoonan desimaalin joukosta. Kahdeksannumeroisen päivämäärän löytäminen onnistuu kymmenestuhannesosasekunnissa.

Ennen vanhaan matemaattisesti suuntautuneet koululaiset todistelivat kyvykkyyttään opettelemalla ulkoa piin desimaaleja. Sitä tehdään edelleenkin. Ennätysten kirjaan pääsemiseksi pitää tosin osata nykyään kymmeniä tuhansia desimaaleja! Englanninkielisille helppo muistisääntö piin kuuden ensimmäisen desimaalin opettelemiseksi on lause: ”How I wish I could calculate pi”. Keksitkö vastaavan suomenkielisen lauseen?

Peruskoulukurssiin pii tulee geometriasta. Ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on pii. Lukua merkitään kreikkalaisella kirjaimella $\pi$. Merkintä on otettu käyttöön 1700-luvulla. Lähtökohtana on ympyrän piirin (perimeter) ensimmäinen kirjain. – Yksi suurista klassisista probleemoista oli ympyrän neliöinti, tosin sanoen sellaisen neliön piirtäminen, että sen pinta-ala on sama kuin annetun ympyrän. Piin transkendentaalisuudesta seuraa, että tehtävää ei voi ratkaista harppi- ja viivainpiirroksella.

Piin voi kohdata myös algebrassa. Esimerkiksi kauneimmaksi tai huomionarvoisimmaksi matematiikan kaavaksi sanotussa Eulerin kaavassa

$$e^{i\pi}+1=0$$

pii liittyy yhteen monen muun perustavaa laatua olevan luvun kanssa. Lukiolainen kohtaa sen myös tilastotieteessä normaalijakauman tiheysfunktion lausekkeessa

$$\phi\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}.$$

Piin itsensä likiarvojen laskemiseen on monta yksinkertaiselta näyttävää kaavaa:

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+…$$ ja

$$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+…$$

Nämä lähestyvät piin arvoa eli suppenevat niin hitaasti, että niitä ei käytetä nykyään eikä ole käytetty enää pitkään aikaan piin desimaalien laskemiseen. Suppenemisen hitauden voit todeta itsekin laskemalla piin likiarvoja taulukkolaskennalla edellä olevia kaavoja käyttäen. Pii esiintyy laskennassa niin usein, että sillä on esimerkiksi Excelissä oma funktio PII(0).

Piillä on niin paljon mielenkiintoisia ominaisuuksia, että siitä on kirjoitettu useita kirjoja. A History of Pi (St. Martin’s Press, 1971), suomennos ”$\pi$, erään luvun tarina” (Terra Cognita, 2000), on fyysikon kirjoittama yleistajuinen esitys. The Joy of Pi taas pyrkii hauskaan esittämiseen. Siinä on historian ja tosiasioiden ohella runoja ja pilapiirrosoivalluksia. Pii-pilapiirroksia on myös verkossa, esimerkiksi sivulla https://kintronics.com/technical-jokes-cartoons-46/.

Niistä voit ideoida oman pii-päivän korttisi.

 

 

Hannu Korhonen
Orimattila

Aloituskuva: Verne Ho/Unsplash

 

Print Friendly, PDF & Email
Takaisin etusivulle