Opetus

Pallogeometrian perushahmotusta, osa 7

Palloharmoniset funktiot ovat perhe reaali- tai kompleksiarvoisia funktioita. Vielä kaksikymmentäviisi vuotta sitten Kluwerin Encyclopaedia of Mathematics mainitsi niiden ainoana sovellusalueena neutronifysiikan, vaikka kyllä muitakin käyttöalueita oli fysiikassa. Melko kaukana koulumatematiikasta siis. Tällä vuosituhannella tilanne on kuitenkin muuttunut olennaisesti. Palloharmoniset funktiot ovat arkipäivää tekniikassa, tieteessä ja viihteessä. Siksi jonkinlaisten perustietojen voisi katsoa kuuluvan matemaattiseen yleissivistykseen.

Palloharmoniset funktiot ovat kahden muuttujan funktioita $Y_{\;l}^m\left( {\theta ,\phi } \right)$, missä ${\rm{\theta }}$ ja $\phi $ ovat pallokoordinaatteja, joita käsiteltiin sarjan viidennessä osassa, = 0, 1, 2, … ja m = –l, … , –1, 0, +1, …, +l. Yksinkertaisin on

$Y_{\;0}^0{\rm{(}}\theta ,\phi {\rm{)\; = }}\frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt \pi  }}$

Funktio on vakio ja sen arvo siis sama kaikilla suuntakulmien arvoilla. Sen kuvaaja on pisteiden

$\left( {r,\theta ,\phi } \right) = \left( {\frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt \pi  }},\;\theta ,\phi } \right)$

joukko. Pisteet ovat samalla etäisyydellä origosta. Kuvaaja on siten pallo. Sen pinta-ala on 1.

Palloharmonisten funktioiden kuvaajat ovat kaksiulotteisia pintoja kolmiulotteisessa avaruudessa (Kuva 1). Konkreettisimmin niiden esityksen voidaan ajatella syntyvän niin, että suunnassa ${\rm{(}}\theta ,\phi {\rm{)}}$ olevan pisteen etäisyys origosta on funktion arvon itseisarvo. Matemaattisesti ilmaisten kuvaajan pisteen (paikkavektorin) pallokoordinaatit ovat

$\left( {r,\theta ,\phi } \right) = \left( {\left| {Y_{\;l}^m\left( {\theta ,\phi } \right)} \right|,\;\theta ,\phi \;} \right)$

Muitakin esitystapoja on[1].

 

Kuva 1. Palloharmonisten funktioiden $Y_{\;l}^m\left( {{\rm{\theta }},\phi } \right)$ kuvaajia[2] asteluvuilla l = 0, 1, 2, 3 (Wikipedia CC BY-SA 3.0). Sinisillä alueilla funktiot saavat positiivisia arvoja ja keltaisilla negatiivisia arvoja.

 

Vanhassa videossa[3] kuvaajia on havainnollistettu projisioituina origokeskiselle pallolle (Kuva 2). Hyvää matemaattisen tekstin ja kuvan lukemisen harjoitusta on verrata näitä kuvan 1 esityksiin, alin rivi, neljä oikeanpuolimmaisinta. Pintojen piirtämiseen ei tarvita ilmaisohjelmia kummempia välineitä. Se onnistuu Geogebrallakin[4], [5], [6] (Kuva 3). Funktioiden lausekkeet monimutkaistuvat nopeasti asteluvun l kasvaessa[7]. Lausekkeiden enemmän tarkastelun voit hyvin jättää väliin, sillä tässä jutussa asiaa käsitellään vain havainnollistamisen ja soveltamisen kannalta.

 

Kuva 2. Palloharmonisten funktioiden $Y_{\;3}^m\left( {{\rm{\theta }},\phi } \right)$ kuvaajia kertaluvuilla m = 0, 1, 2, 3 pallon pinnalle projisoituina. Punaiset alueet vastaavat funktioiden positiivisia ja siniset negatiivisia arvoja. Esimerkit ovat Vidalin videosta [3] .

 

Kuva 3. Palloharmonisten funktioiden $Y_{\;2}^{ – 1}$,$\;Y_{\;3}^0$ ja $Y_{\;4}^0$ kuvaajat Geogebra-matleteista [4], [5], [6] .

 

Palloharmonisia funktioita käytetään muun muassa fysiikassa lämmön siirtymisen ja gravitaatio- ja sähkökenttien mallintamiseen, kemiassa atomiorbitaalien mallintamiseen sekä tähtitieteessä avaruuden mikroaaltotaustasäteilyn analysoimiseen. Niitä käytetään myös valon heijastuksen ja sironnan mallintamiseen valaistuksen suunnittelussa.

Arkipäivässään ihmiset törmäävät – tietämättään – palloharmonisiin funktioihin tietokonepelejä pelatessaan tai animaatioelokuvia katselleessaan. Näiden visuaalinen realistisuus ja esteettisyys ovatkin kehittyneet viimeisten parinkymmenen vuoden aikana hyvin nopeasti. Ratkaisuna on palloharmonisten funktioiden käyttö reaaliaikaisessa pintojen kuvantamisessa (renderöimisessä) ja valaistuksesta riippuvien todellisuudenmukaisten varjojen luomisessa.

Kuvaava esimerkki on Avatar-elokuva vuodelta 2009. Sen tekeminen ei olisi ollut mahdollista ilman palloharmonisia funktioita käyttävää teknologiaa[8] (Kuva 4). Palloharmonisen valaistuksen tekniikka kehitettiin vuonna 2002. Sitä koskevassa artikkelissa[9] on esimerkkejä siitä, miten yksinkertaisenkin kohteen valaistusta vaihtelemalla voidaan vaikuttaa näkymän realistisuuteen (Kuva 5).

 

Kuva 4. Avatar-elokuvan roolihahmo Jake kahdessa valaistuksessa. Pienet pallot havainnollistavat valaistuslähteiden suuntaa. Kuva Seymourin artikkelista[8] .

 

Kuva 5. Valaistuksen tuottamat varjot ovat olennainen osa tietokonegrafiikan synnyttämää vaikutelmaa. Kuvat Greenin artikkelista[9].

 

Suuret kiitokset tästä jutusta kuuluvat Kaarle Kurki-Suoniolle ja Simo Kivelälle, jotka ovat opastaneet matematiikan kivisillä poluilla harhaillutta kirjoittajaa.

 

 

Lisää luettavaa:

 

[1] Kivelä, S. Palloharmoniaa heinäkuun ratoksi, blogikirjoitus osoitteessa http://simokivela.blogspot.com/.

[2] Wikipedia-artikkeli Spherical harmonics osoitteessa https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics.

[3] Vidal, J.-P. Visualisation 3D d’harmoniques sphériques, cubiques et icosaédriques osoitteessa https://www.canal-u.tv/video/cerimes/visualisation_3d_d_harmoniques_spheriques_cubiques_et_icosaedriques.9501 (Verkkosivu on ranskankielinen, mutta videon jälkiosassa on englanninkielinen selostus. Yhteistyökumppaneina mainitaan Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio).

[4] Geogebra-matletti Sphere harmonis Y2-1 osoitteessa https://www.geogebra.org/m/cfavmtux.

[5] Geogebra-matletti Sphere harmonic Y30 osoitteessa https://www.geogebra.org/m/pnv9jezb.

[6] Geogebra-matletti Sphere harmonic Y40 osoitteessa https://www.geogebra.org/m/ua66ybnw.

[7] Katso esimerkiksi https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics tai http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html.

[8] Seymour, M. The science of spherical harmonics at Weta Digital osoitteessa https://www.fxguide.com/featured/the-science-of-spherical-harmonics-at-weta-digital/.

[9] Green, R. Spherical Harmonic Lighting: The Gritty Details, Game Developers Conference 2003, osoitteessa https://www.researchgate.net/publication/319770532_Spherical_harmonic_lighting_The_gritty_details.

 

 

Hannu Korhonen
Orimattila

 

Edelliset osat:

Pallogeometria – Osa 6

Pallogeometria – Osa 5

Pallogeometria – Osa 4

Pallogeometria – Osa 3

Pallogeometria – Osa 2

Pallogeometria – Osa 1

Print Friendly, PDF & Email
Takaisin etusivulle