Matematiikan opetuksen historiaa: Zoltan Dienes

Zoltan Dienes (1916 – 2014) syntyi Unkarissa, mutta toimi elämänsä aikana tutkijana ja opettajana useissa Euroopan maissa, Yhdysvalloissa, Australiassa, Kanadassa, Brasiliassa ja Uudessa Guineassa. Hän suoritti sekä matematiikan että psykologian tohtorin tutkinnon. Dienesiä ihmetytti se, miksi jotkut ihmiset eivät oppineet matematiikkaa edes niin paljon kuin arkielämässä tarvittaisiin. Hän päätteli, että vika on matematiikan kouluopetuksessa.

Dienes käynnisti oppimistutkimuksen, jota varten hän kehitti konkreettisia mallintamismateriaaleja, joista myöhemmin tulivat laajalle levinneet kymmenjärjestelmävälineet ja algebralaatat. Hän itse toimi opettajana opetuskokeiluissa, joiden tulokset olivat hämmästyttäviä. Lapset oppivat välineillä toimiessaan ymmärtämään matemaattisia käsitteitä. Lisäksi hän totesi muita positiivisia oheisvaikutuksia, kuten oppimiskyvyn sekä ajattelu- ja ongelmanratkaisutaitojen paranemista. Oppilaat innostuivat matematiikasta ja heidän itseluottamuksensa kasvoi.

Dienes kirjoitti 1960 kirjan Building Up Mathematics, jossa hän kiteyttää opetusmenetelmänsä ja visionsa siitä, miten matematiikan opetusta tulee muuttaa. Kirja oli suuri menestys. Dienesin opeista kiinnostui Jerome Bruner Harvardin Yliopistosta ja tarjosi hänelle tutkijaprofessorin paikkaa Harvardissa.  Myös Yhdysvalloissa tartuttiin uuteen ajatteluun matematiikan opetuksesta. Asiaa vauhditti 1957 tapahtunut Neuvostoliiton ensimmäisen Sputnikin laukaiseminen avaruuteen. Sen koettiin osoittavan Yhdysvaltojen olevan pahasti jäljessä tekniikan kehittämisessä. Ero voitaisiin kuroa umpeen muuttamalla radikaalisti matematiikan opetusta jo alakoulusta lähtien. Dienesillä näytti olevan siihen tarvittavat keinot.

Zoltan Dienes oli kehittänyt tutkimustensa pohjalta kuusitasoisen matematiikan oppimisen teorian, joka selittää, miten ymmärtävä oppiminen etenee.

Taso 1. Orientoitumisvaihe, jolloin yksilö tutkii uutta tilannetta ”yrityksen ja erehdyksen” menetelmällä. Dienes kutsuu tätä tasoa ”vapaaksi leikiksi”, joka on kaiken oppimisen alku.

Taso 2. Sääntöjen keksimisen vaihe, jolloin oppilas alkaa hahmottaa säännönmukaisuutta käsillä olevassa tehtävässä tai pelissä. Dienes toteaa, että tehtävät tulee suunnitella niin, että säännöt tukevat matematiikan rakenteiden oppimista.

Taso 3. Vertailuvaihe, jolloin oppilaan kanssa keskustellaan ja analysoidaan tehtävien tai pelien taustalla olevia sääntöjä ja rakenteita sekä havaitaan yhtäläisyyksiä. Vertailemalla löydetään matemaattisia rakenteita. Aletaan ottaa ensimmäisiä askelia kohti yleistystä ja abstraktioita.

Taso 4. Mallintamisen vaihe, jolloin asioiden välisiä riippuvuuksia esitetään taulukoilla, koordinaatistossa, diagrammeilla ym. malleilla.

Taso 5. Symboli -vaihe, jossa edellisessä vaiheessa kehitetystä mallista, esim. kaaviosta tai diagrammista muodostetaan symbolimerkintä. Tämä voi tarkoittaa esim. yhtälön kirjoittamista.

Taso 6. Formaalinen -vaihe, jolloin luodaan formaalin matematiikan rakennetta kehittämällä aksiomeja, joista todistusten kautta päädytään teoreemoihin.

Dienesin mukaan vaiheiden läpikäyminen vaatii opetukseen tarkasti suunniteltua sekä ajattelua kehittävää materiaalia, jota edustavat esim. hänen kehittämänsä mallintamisvälineet. Lapsen ohjaaminen kiinnostumaan matemaattisesta ajattelusta alkaa jo neljästä ikävuodesta lähtien. Ohjaamisessa käytetään pelejä, tarinoita, runoja ja tanssia.

Dienes määritteli neljä yleistä periaatetta, joita tulisi noudattaa matematiikan opetuksessa lapsille.

1. Dynaamisuuden periaate tarkoittaa, että konkreettisia materiaaleja, kommunikaatiota ja toimintaa käytetään oikeaan aikaan muodostamaan pohja matemaattisten käsitteiden oppimiselle.
2. Rakentavan ajattelun periaate tarkoittaa, että tehtävät ja pelit pitää suunnitella tukemaan matemaattisten käsitteiden rakentamista ja ymmärtämistä.
3. Monipuolisten kontekstien periaate tarkoittaa, että oppilaalle tarjotaan kokemuksia saman käsitteen ilmenemisestä erilaisissa yhteyksissä ja konteksteissa. Sovellusalueet ovat erilaisia, mutta niiden takana oleva käsite on sama.
4. Vaihtelevuuden periaate tarkoittaa, että käsitteestä käytetään vaihtelevasti erilaisia malleja ja esitysmuotoja, jolloin oppilas ymmärtää laaja-alaisesti käsitteen ja sen yhteydet muihin käsitteisiin.

Zoltan Dienes kehitti materiaaleja, jotka noudattivat hänen neljää periaatettaan niin, että oppiminen etenee teoriassa mainittujen kuuden tason kautta.  Dienesin harjoitukset ja leikit oli lähes aina suunniteltu käytettäväksi ryhmässä, koska hän piti kommunikaatiota ja toisilta oppimista tärkeänä osana matematiikan käsitteiden ymmärtämistä ja käsitejärjestelmän kehittymistä. Opettajan roolin hän näki niin, että opettaja toimii yhtenä jäsenenä oppilaiden ongelmia pohtivassa ryhmässä, ei auktoriteettina luokassa.

Palikoita, tarinoita, runoja, tanssia

Zoltan Dienesin merkittävä saavutus oli konkreettisten mallintamisvälineiden kehittäminen. Kymmenjärjestelmävälineet (Base Ten Blocks), loogiset palikat (Logic Blocks) ja algebralaatat (Multi-base Aritmetic Blocks. MAB) ovat levinneet ympäri maailmaa. Dienes on kehittänyt myös oman versionsa Cuisenairen värisauvoista (unkarilaiset värisauvat).  Välineet palvelevat Dienesin oppimisteoriaan liittyvää mallintamista, ymmärtämistä, symbolien käyttöönottoa ja abstrahointia.

Kymmenjärjestelmävälineet yhdessä lukuyksikköpohjan kanssa tukevat desimaalijärjestelmän ymmärtämistä. Välineillä voidaan muodostaa sekä suuria luonnollisia lukuja että desimaalilukuja. Loogisille palikoille Dienes on kehittänyt monia tehtävätyyppejä ja aktiviteettejä, joita löytyy esim. osoitteesta ”Zoltan Dienes’ Web Site/ Logic Games”. Usein tarinat johdattivat pohdintoihin mallintamisvälineitä käyttäen. Tarinat, runot, välineet, tanssi ja kommunikaatio toimivat Dienesin ajattelussa sovussa edistäen matematiikan ymmärtävää oppimista.

Dienes korostaa, että matematiikassa tarvitaan sekä loogista että luovaa ajattelua. Tarvitaan myös innostusta ja motivaatiota. Matematiikan oppiminen pitää tehdä oppilaille kiinnostavaksi ja läheiseksi. Hän ei tarkoita sitä, että oppilaan pitää päästä vähällä tai saada itse valita, mitä häntä huvittaa tehdä. Innostavuus ja motivaatio syntyy esim. tarinoista, jotka ovat lapselle läheisestä maailmasta. Tällainen tarina on mm. kahden lapsen, Brucen ja Alicen matka Ruritaniaan, jossa käytetään kymmenjärjestelmän asemasta kolmijärjestelmää. Dienesin ajatus on, että tutustumalla erilaisiin lukujärjestelmiin lapsi ymmärtää, mikä on lukujärjestelmän idea. Periaate on sama, olipa kyse kolmi- tai kymmenjärjestelmästä. (Tarinoita löytyy Zoltan Dienesin Websiteltä.)

Zoltan Dienes julkaisi yhdessä Michael Holtin kanssa 1973 kirjan Let’s Play Math. Kirja on tarkoitettu pienten lasten vanhemmille. Kirja ilmestyi New Yorkissa aikaan, jolloin ”uusi matematiikka” kuului koulujen opetussuunnitelmiin. Dienes kirjoittaa kirjan alussa lasten vanhemmille suunnatussa tekstissä, kuinka ”uusi matematiikka” on tullut jäädäkseen. Tietokoneet tulevat pian hoitamaan rutiinilaskennan, mutta ajatteluun ja koneiden ohjelmointiin tarvitaan ihmisiä.

Opettajien kouluttaminen opettamaan ”uutta matematiikkaa” sai Yhdysvalloissa valtiolta huomattavaa tukea 1960-luvun alkupuolelta 1970-luvun puoliväliin, kunnes todettiin, että valtakunnallisten testien mukaan matematiikan oppimistulokset ovat huonoja. Noustiin voimakkaasti kapinaan uusia sisältöjä ja opetusmenetelmiä vastaan. Havaittiin, että lapset eivät oppineet ”uutta matematiikkaa”, mutta he eivät myöskään osanneet enää laskea tavallisia laskuja. Jotakin piti tehdä nopeasti. Seurasi ”bach to basics” vaihe, jossa palattiin entiseen perusvalmiuksia opettavaan matematiikkaan. Valtio siirtyi rahoittamaan varman laskutaidon oppimiseen tähtääviä projekteja. Dienesin opit saivat väistyä.

Dienes joutui myös kollegoidensa kanssa konfliktiin siitä, pitäisikö opetus lähteä kompleksisestä tilanteesta ja edetä kohti yksinkertaisempaa ongelmaa vai päinvastoin. Esimerkiksi Dienesin ryhmä opetti ensin oppilaille suhteen käsitteen ja sitten sen erikoistapauksina kertolaskun ja jakolaskun. Monet olivat järjestyksestä voimakkaasti eri mieltä. Opettajat eivät halunneet muuttaa rooliaan luokassa toimimaan oppilaiden ”kaverina”. He olivat koulutettuja opettajiksi ja halusivat säilyä siinä roolissa.

Miten kävi Dienesin elämäntyön?

Zoltan Dienes kuoli 97-vuotiaana vuonna 2014. Hän jatkoi kirjoittamista ja luennoimista lähes loppuun asti ja pohti 2000-luvun alkupuolella, mitä oli jäänyt jäljelle hänen hienosta matematiikan oppimisen teoriastaan. Kaikki näytti hänestä olevan lähes samassa jamassa kuin 1960-luvulla hänen tuodessaan ”uuden matematiikan” lisäämään innostusta matematiikan opiskeluun, tuottamaan parempia oppimistuloksia sekä oheisvaikutuksena kehittämään ajattelu- , päättely- ja ongelmanratkaisutaitoja.

Mutta ei Zoltan Dienesiä ole unohdettu. Hänen kehittämänsä mallintamisvälineet ovat yhä käytössä. Kymmenjärjestelmävälinet, loogiset palat, algebralaatat ja värisauvat ovat myynnissä ainakin Suomessa. Niitä on myös siirretty digitaaliseen oppimisympäristöön. Välineet ovat keskeisessä asemassa Unkarista Suomeen tuodussa Varga-Nemenyi menetelmässä, johon meillä koulutetaan opettajia Varga-Nemenyi yhdistyksen toimesta . Tämä ei ole yllättävää, koska Varga ja Dienes toimivat aikoinaan yhdessä kehitellessään Unkarin uusia opetussuunnitelmia. Käsitys opettajan roolista on sama, samoin monet sisältöihin liittyvät periaatteet. Lisää tietoa Vargan periaatteista löytyy Varga-Nemenyi yhdistyksen sivuilta.

Dienesin ajatukset elävät muullakin. Ne ovat osaltaan antaneet rakennusaineksia Singapore Math’iin, joka on nostanut Singaporen maailman kolmen matematiikkaa parhaiten osaavan maan joukkoon jo yli 20 vuoden ajan sekä PISA-testeissä että TIMMS-testeissä. Monta kertaa Singapore on ollut ykkösenä maailmassa. Singaporen opetussuunnitelmat ja opetusmenetelmät pohjautuvat ymmärrykseen, toiminnallisuuteen, mallintamiseen, pohdintaan, kommunikaatioon ja ongelmanratkaisuun. Tärkeätä on oppilaslähtöisyys, nykyteknologian käyttö sekä monipuolinen ja luovuutta kannustava oppimisympäristö. Menetelmät vastaavat hyvin Dienesin oppimisen tavoitteita. Ajat muuttuvat, mutta toimivat periaatteet säilyvät.

Lähteitä

Dienes, Z.P. (1971) Building up Mathematics (4th ed.) London Hutchinson.

Dienes, Z.P. (1964) The Power of Mathematics London Hutchinson.

Dienes, Z.P. (1974) Learning Logic and Logical Games London Hutchinson.

Dienes, Z.P. (1975) Abstraction and Generalization: Exemples Using Finite Geometries. In J Higgins (Ed) Cognitive Psychology and the Mathematics Laboratory. Columbus, OH: ERIC/SMEAC.

B. Sriraman (Ed) (2008) Mathematics Education and the Legacy of Zoltan Paul Dienes Information Age Publishing, Inc. Printed in United States of America.

Zoltan Dienes’ Website – Biography, Math Games…

M.Holt & Z.Dienes (1973) Let’s Play Math. Walker and Company New York