• Opetus

    Perushahmotusta neljännen ulottuvuuden mieltämiseen, osa3 – Kolmannesta ulottuvuudesta toiseen

    Kolmiulotteisesta kappaleesta voidaan piirtää kaksiulotteinen kuva. Matemaattisesti kyseessä on projektiokuvaus. Tavallisimmat projektiot ovat yhdensuuntaisprojektio ja keskusprojektio. Havainnollinen esimerkki yhdensuuntaisprojektiosta on auringon muodostama varjo. Aurinko on niin kaukana, että valonsäteitä voidaan pitää yhdensuuntaisina. Jos herra Pallon, joka esiteltiin sarjan edellisessä osassa, kolmiulotteisessa maailmassa Tilalassa (Avaruusmaa, Spaceland) olisi ollut samanlainen aurinko, niin…

  •    
  • Opetus

    Askartelua ja aivojumppaa: origami 2

    Oikeaoppinen origamityö tehdään neliönmuotoisesta paperista ilman leikkauksia. Origamipaperia on myytävänä, mutta matematiikantunnin harjoitustöihin kelpaa tavallinen kopiopaperi. Yksinkertaisiksikin mainitut origamityöt ovat usein sangen monimutkaisia. Siksi kannattaa ehkä aloittaa materiaaliin tutustumisesta, vaikka origamityöskentely olisi oppilaille tuttua ennestään. Harjoitus 1: paperiarkki Tavallinen kopiopaperi on muodoltaan hyvin matemaattinen. Sen sivujen pituuksien suhde on 1…

  •    
  • Opetus

    Perushahmotusta neljännen ulottuvuuden mieltämiseen, osa 2 – Kahdesta ulottuvuudesta kolmanteen

    Ympäristömme on kolmiulotteinen. Meidän on lähes mahdotonta yrittää kuvitella neliulotteista tilaa, edes yksikertaisimpia neliulotteisia kappaleita. Kaksiulotteisen maailman tarkastelu on helpompaa. Jos yritämme ensin kuvitella omaa maailmaamme kaksiulotteisten eliöiden silmin, niin samantapaiset ajattelutavat saattaisivat auttaa meitä kurkistamaan myöhemmin neliulotteisiin maailmoihin. Tunnetuin kaksiulotteinen maailma on varmaankin englantilaisen Edwin Abbott Abbottin luoma Flatland…

  •    
  • Opetus

    Askartelua ja aivojumppaa: origami 1

    Origami on vanha japanilainen taidemuoto. Työskentely perustuu paperintaitteluun. Matematiikan kannalta se on avaruusgeometriaa ja topologiaa. Kouluopetukseen sillä voisi olla monenlaista annettavaa myös siksi, että se ei noudata tiukkoja ainerajoja, vaan yhteys esimerkiksi kuvataiteeseen, maantietoon ja historiaan on ilmeinen.  Vanhin säilynyt origamiohjeita sisältävä kirja on 1700-luvulta: Senbazuru orikata (Tuhat kurkea ja…

  •    
  • Opetus

    Perushahmotusta neljännen ulottuvuuden mieltämiseen, osa 1 – Mitä ne ulottuvuudet ovat?

    Matematiikan alkuperä on konkretiassa: lukumäärissä ja muussa ympäristön hahmottamisessa. Matematiikan voima ja kehityksen rajattomuuden takuu on abstrahoinnissa, käsítteiden yleistämisessä ja uuden luomisessa. Tuttuja arkipäivän asioita voidaan matematisoida ja toisaalta voidaan määritellä käsitteitä, joita emme pysty mieltämään arkikokemuksemme perusteella. Abstrakteja käsitteitä voi kuitenkin pyrkiä hahmottamaan hankkimalla kokemuksia, jotka auttavat liittämään uudet…

  •    
  • Opetus

    Kokemuksia ensimmäisten päivien etäopiskelusta peruskoulun yläluokilla

    Kun pääministeri Sanna Marinin tiedotti maanantaina, että peruskoulut suljetaan ja siirrytään keskiviikosta alkaen etäopetukseen, alkoi päässäni melkoinen myllerrys. Miten ihmeessä matematiikan, fysiikan ja kemian opetusta annetaan peruskoulussa etänä? Tiistaina, koulupäivän jälkeen tapasin vielä yhden oppilaani ja hänen huoltajansa. Hyvästellessämme oli huikeaa kuulla, kun kahdeksasluokkalainen toteaa, että hän tulee pääsiäisen jälkeen…

  •    
  • Opetus

    Miten hoidan opetuksen etänä?

    Koronavirusepidemia sulki koulut tästä päivästä alkaen koko Suomessa ja ainakin 13.4.2020 saakka opetus toteutetaan poikkeusjärjestelyin. Nopea siirtyminen lähiopetuksesta etäopetukseen vie epämukavuusalueelle, jossa sekä opettajan että oppijoiden on selvittävä. Oman etätyöskentelyni suunnittelussa lähdin liikkeelle niistä välineistä ja menetelmistä, joita käytän lähiopetuksessa. Luokkahuonevuorovaikutuksen puuttuessa päädyin kokeilemaan opiskelijoideni kanssa myös uutta työvälinettä. Kaikilla…

  •    
  • Opetus

    Matematiikan opetuksen historiaa: Zoltan Dienes

    Zoltan Dienes (1916 – 2014) syntyi Unkarissa, mutta toimi elämänsä aikana tutkijana ja opettajana useissa Euroopan maissa, Yhdysvalloissa, Australiassa, Kanadassa, Brasiliassa ja Uudessa Guineassa. Hän suoritti sekä matematiikan että psykologian tohtorin tutkinnon. Dienesiä ihmetytti se, miksi jotkut ihmiset eivät oppineet matematiikkaa edes niin paljon kuin arkielämässä tarvittaisiin. Hän päätteli, että…

  •    
  • Opetus

    Askartelua ja aivojumppaa: pop up 2

    Pop up -kortti tehdään leikkaamalla ja taittamalla kaksinkerroin taitettua paperi- tai kartonkiarkkia ja mahdollisesti liimaamalla lisäosia. Sakset riittävät tavallisesti, mutta tarkkaan työskentelyyn tarvitset terävän askarteluveitsen tai pienen mattoveitsen ja tukevan leikkuualustan. Tarkkaan taittamiseen tarvitset myös viivaimen, jota pitkin taittaa.   Tehtävä 1: yksinkertainen pop up -kuutio Tee kohtisuoraan taitetta vastaan…

  •    
  • Opetus

    Graafiteorian oppimateriaalia

    Viime vuonna sain valmiiksi pro gradu -tutkielmani ”Graafiteorian oppimateriaalia”. Tutkielma tarjoaa oppimateriaalia graafiteoriasta kiinnostuneille ja se on sovellettavissa esimerkiksi osaksi diskreetin matematiikan kurssia. Graafiteoria tarjoaa vaihtoehtoisen, visuaalisen tavan monien konkreettisten ongelmien ratkaisuun. Tässä artikkelissa esittelen muutaman klassisen graafiteorian sovellutuksen. Mitä graafiteoria on? Graafiteoria on matematiikan ala, joka tutkii objektien välisiä…